ما هي الأعداد الصحيحة في الرياضيات، وما هي مجموعاتها وخصائصها وعملياتها الحسابية المبنية عليها من الأشياء المهمة التي يحتاجها التلميذ، ليس فقط في الرياضيات، ولكن أيضًا في المعادلات الفيزيائية والكيميائية والعلمية، حتى في معظم مجالات الحياة وجوانبها التي نحتاجها.وكالعادة، سوف تجيب على جميع أسئلتك المتعلقة بهذا الموضوع . والمواضيع الأخرى التي تهمك.
ما هي الاعداد الصحيحة
الأعداد الصحيحة هي أصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية، أي الأعداد التي لا تحتوي على جزء عشري أو كسري. تحتوي الأعداد الصحيحة في مجموعتها على أعداد سالبة وموجبة، بما في ذلك الصفر. في نظرية الأعداد الجبرية، تُصنف الأعداد الصحيحة أحيانًا على أنها أعداد صحيحة منطقية لتمييزها. منهم من الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر عمومية، في الواقع (منطقية) الأعداد الصحيحة هي الأعداد الصحيحة الجبرية التي هي أيضا أرقام منطقية. أمثلة عدد صحيح -5 و 0 و 1 و 5 و 8 و 97 و 3043.
مجموعة من الأعداد الصحيحة
تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمثلها Z ما يلي
- الأعداد الصحيحة الموجبة يكون العدد الصحيح موجبًا إذا كان أكبر من الصفر، مثل 1، 2، 3، إلخ.
- الأعداد الصحيحة السالبة تكون الأعداد الصحيحة سالبة إذا كانت أقل من الصفر، على سبيل المثال -1، -2، -3 وغيرها.
- عدد صحيح محايد الصفر ليس عددًا صحيحًا سالبًا أو موجبًا، إنه عدد صحيح محايد. مثال Z = {…- 7، -6، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، …} وأرقام موجبة وسالبة أخرى، إلخ. د. كل الأعداد الصحيحة.
خصائص الأعداد الصحيحة
يدرس علم الرياضيات الاعداد بكافة أنواعها وأشكالها، ومنها الأعداد الصحيحة، حيث هناك خمس خصائص أساسية للأعداد الصحيحة، ، وإليكم هنا في السطور التالية نوضح لكم خصائص الأعداد الصحيحة، وهي كالتالي:
خاصية الإغلاق
- تنص خاصية الإغلاق للجمع والطرح على أن مجموع أو فرق أي عددين صحيحين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا، أي إذا كان x و y أي عدد صحيح، فإن x + y و x – y سيكونان أيضًا عددًا صحيحًا، مثال 1 3 – 4 = 3 + (−4) = 1، (−5) + 8 = 3 النتائج أعداد صحيحة.
- تشير خاصية إغلاق الضرب إلى أن حاصل ضرب أي عددين صحيحين سيكون عددًا صحيحًا، أي إذا كان x و y أي عدد صحيح، فسيكون xy أيضًا عددًا صحيحًا، المثال 2 6 x 9 = 54 ؛ (5) x (3) = 15 وهي أعداد صحيحة.
- لا يتبع القسمة الصحيحة خاصية الإغلاق، أي أن تقسيم أي عددين صحيحين x و y قد يكون أو لا يكون عددًا صحيحًا. مثال 3 (−3) ÷ (−6) = ½ ليس عددًا صحيحًا.
وظيفة الصرف
- تشير الخاصية التبادلية للجمع والضرب إلى أن ترتيب المصطلحات لا يهم وأن النتيجة ستكون هي نفسها سواء كانت عملية جمع أو ضرب، ولن يؤدي تغيير المصطلحات إلى تغيير المجموع أو الضرب، لنفترض أن x و y تساوي أيًا منهما عددين صحيحين، إذن ⇒ x + y = y + x، ⇒ xxy = yxx، مثال 4 4 + (−6) = −2 = (−6) + 4، 10 x (−3) = 30 = (3) ) × 10.
- لكن الطرح (x – y ≠ y – x) والقسمة (x ÷ y ≠ y ÷ x) غير قابلين للتبديل للأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة، المثال 5 4 – (6) = 10 ؛ (−6) – 4 = 10 ⇒ 4 – (6) ≠ (6) – 4، مثال 10 ÷ 2 = 5 ؛ 2 ÷ 10 = 10 2 2 10
خاصية الأقواس
- تشير الخاصية الترابطية للجمع والضرب إلى أن كيفية تجميع الأرقام لا تهم، وستكون النتيجة هي نفسها، يمكنك تجميع الأرقام كما تريد، ولكن تظل الإجابة كما هي، ويمكن استخدام الأقواس بغض النظر عن الترتيب . لنفترض أن x و y و z هي أي ثلاثة أرقام صحيحة ⇒ x + (y + z) = (x + y) + z ⇒ xx (yxz) = (xxy) xz مثال 6 1 + (2 + (- 3) )) = 0 = (1 + 2) + (3) ؛ 1 × (2 × (-3)) = 6 = (1 × 2) × (-3).
- طرح الأعداد الصحيحة ليس ترابطيًا، أي x – (y – z) ≠ (x – y) – z مثال 7 1 – (2 – (−3)) = -4 ؛ (1-2) – (-3) = 2، 1 – (2 – (-3)) ≠ (1-2) – (-3)
خاصية التوزيع
يشرح التوزيع القدرة على توزيع العمليات على العمليات الحسابية الأخرى داخل شريحة. يمكن أن يكون هذا إما خاصية توزيع للضرب على الجمع، أو خاصية توزيع للضرب على الطرح. هنا، تُجمع الأعداد الصحيحة أو تُطرح أولاً، ثم تُضرب أو تُضرب في كل رقم داخل القوس أولاً، ثم تُجمع أو تُطرح. يمكن تمثيل ذلك لأي أعداد صحيحة x و y و z على النحو التالي
- ⇒ س س (ص + ع) = س س ص + س س ع
- ⇒ x x (y – z) = x x y – x x z
مثال 8 −5 (2 + 1) = 15 = (5 × 2) + (−5 × 1)
خاصية الهوية
- تقول خاصية الهوية المضافة أنه عند إضافة أي عدد صحيح إلى الصفر فإنه ينتج نفس العدد، ويسمى الصفر الهوية المضافة لأي عدد صحيح x، x + 0 = x = 0 + x
- تقول خاصية الهوية المتعددة للأعداد الصحيحة أنه عندما يتم ضرب رقم في 1، فإنه يعطي نفس العدد الصحيح مثل حاصل ضرب الضرب، لذلك يطلق على 1 الهوية المتعددة لرقم لأي عدد صحيح x، xx 1 = x = 1 x x
- إذا تم ضرب أي عدد صحيح في 0، فستكون النتيجة صفرًا xx 0 = 0 = 0 xx
- إذا تم ضرب أي عدد صحيح في -1، فسيكون حاصل الضرب هو مقلوب الرقم xx (−1) = −x = (−1) x x.
عمليات على الأعداد الصحيحة
ترتبط العمليات الحسابية الأساسية الأربع بالأعداد الصحيحة وهذه العمليات هي
اجمع الأعداد الصحيحة
يتم وضع الرقم صفر في منتصف خط الأعداد، لذلك عندما نستمر إلى يمين الصفر، لدينا أرقام موجبة وتتوسع الأرقام السالبة إلى يسار الصفر، وعند إضافة أرقام موجبة وسالبة كاملة نتخيل أننا نتحرك على طول خط الأعداد عن طريق جمع وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، وإضافة وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، إليك قواعد جمع الأعداد الصحيحة
- عند إضافة رقمين متطابقين في موقع، نضع علامة ثم نضيف على سبيل المثال إذا طُلب منا إضافة الرقمين 4 و 3، فسنبدأ بالانتقال إلى الرقم 4 على خط الأعداد، مع تحويل أربع وحدات بالضبط إلى على يمين الصفر، يجب أن ننتقل إلى اليمين بمقدار ثلاث وحدات. بما أننا نضع سبعة آحاد على يمين الصفر، فإننا نقول إن مجموع 3 و 4 هو 7، (+3) + (+4) = +4 أو (-3) – (-4) = (-7) ).
- عند إضافة رقمين مختلفين في وضع إشارة، نضع علامة الرقم الأكبر عند طرح) إذا طُلب منا جمع الرقمين 8 و -2، فسنبدأ بتحريك ثماني وحدات إلى يمين الصفر، ثم نقل وحدتين إلى اليسار من هناك، لأننا نعلم أن الأعداد السالبة تجعلنا نتحرك إلى يسار صف الأعداد، نظرًا لأن آخر موضع لدينا هو ست وحدات على يمين الصفر، يمكننا القول إن مجموع 8 و -2 هو 6، (-2) + (+8) = +6، (+2) – (-8) = -6.
اطرح الأعداد الصحيحة
يتم تحويل مسائل الطرح إلى مسائل جمع. عند طرح عددين، هناك خطوتان رئيسيتان
- قمت بتغيير علامة الطرح في السؤال إلى علامة الجمع (+4) – (+3) = (+4) + (-3).
- يغير علامة الرقم مباشرة بعد علامة الجمع المضافة حديثًا (+4) – (+3) = (+4) + (-3).
وفقًا لهذه الخطوات، يتعين علينا تغيير علامة الطرح إلى علامة زائد في أي سؤال، وعلينا أن نأخذ عكس 3، وهو -3، لذا تصبح المشكلة الآن
- (+4) + (-3) الآن، باستخدام قواعد الجمع، نحصل على الإجابة +1.
- = (+ 4) – (+3)
- = (+ 4) + (-3)
- = + 1
فيما يلي بعض الأمثلة لفهم أفضل
- مثال 1) -2 – 7 = -2 + (-7) = -9
- مثال 2) 6 – (-2) = 6 + 2 = 8
- مثال 3) -7 – (-2) = -7 + 2 = -5
اضرب الأعداد الصحيحة
القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند ضرب عددين صحيحين هي القيام بضرب بدون إشارة، فسيكون لديك قاعدتان بعد ضرب عددين
- تكون علامة النتيجة موجبة إذا كان لرقمين نفس العلامة (+4) x (+3) = +12، (-4) x (-3) = +12.
- تكون علامة النتيجة سالبة إذا كان لرقمين نفس العلامة (-4) x (+3) = -12، (+4) x (-3) = -12.
تقسيم الأعداد الصحيحة
القاعدة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند قسمة عددين صحيحين هي أننا نقوم بعملية القسمة دون وضع إشارة، ثم سيكون لديك قاعدتان بعد قسمة رقمين
- تكون علامة المنتج موجبة إذا كان لرقمان نفس العلامة (+12) ÷ (+3) = +4، (-12) ÷ (-3) = +4.
- تكون علامة المنتج سالبة إذا كان لرقمان نفس العلامة (-12) ÷ (+3) = -4، (+12) ÷ (-3) = -4.
مع الكثير من المعلومات، وصلنا إلى نهاية هذه المقالة بعنوان “ما هي الأعداد الصحيحة” التي قدمنا فيها معلومات حول مجموعات الأعداد الصحيحة وخواصها الخمسة، وفي نهاية المقالة قدمنا لك عمليات على الأعداد الصحيحة ذات أمثلة لإثراء الفكر قرائنا الأعزاء.